La revanche de celui qui est nul en maths

Je me pose de ces questions, quelquefois.

Mise en situation : je dois fréquemment traverser une rue, en plein milieu, pour rentrer chez moi.

Mais le trafic s'accroît, ma foi, avec le temps. Il devient de plus en plus long d'attendre que les bagnoles dans les deux sens passent...

Au coin de la rue, dans la direction où je dois de toute façon aller, il y a des feux de circulation.

Je n'aime pas m'y rendre, car j'ai l'impression d'attendre longuement.

L'autre jour, j'ai compté qu'il faut attendre 45 secondes pour que le feu des piétons revienne. Pas si mal!

Tout à l'heure, légèrement aveuglé par la lumière de midi et conscient des moult véhicules sur la rue, je suis allé au coin, où il y a les feux.

J'ai songé : mais en fait, je n'ai pas à attendre 45 secondes chaque fois. C'est dans le pire des scénarios.

Intuition : il faut diviser 45 secondes par 2, pour obtenir le temps d'attente moyen : 22,5 secondes.

Vraiment bien. N'ai-je pas attendu bien plus longtemps que ça, quand je tentais de traverser la rue en son milieu?

Donc pour faire passer le test de la réalité à mon intuition, je m'imagine un feu qui durerait 4 secondes.

Je peux arriver quand il reste 1, 2, 3 ou 4 secondes avant le feu piéton.

Le résultat anticipé (moyenne du temps d'attente à ce feu) : 2 secondes.

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Pour calculer la moyenne, je divise par 4.

10 / 4 = 2,5

Euuuhhh...

Alors je pense : ah! je pourrais arriver au feu quand il reste 0 seconde = aucune attente, je traverse immédiatement.

Donc je divise 10 par 5. Voilà ma réponse, 2 secondes.

J'entreprends de tester le tout pour 45 secondes sur mon téléphone.

Je tape dans la calculatrice 1 + 2 + 3, etc.

La calculatrice m'interrompt : on ne peut pas entrer plus de 40 termes. Mince alors!

Or, je pense à WolframAlpha (une intelligence computationnelle).

J'y vais, et j'écris 1 + 2 + 3 + ... + 45

Turns out, c'est la bonne notation. Le profane en moi est fier. En tout cas, la machine me comprend.

La réponse que me fournit le site : 1035.

Donc faut-il diviser ce résultat par 45 + 1, soit 46?

J'essaie : 1035 / 46 = 22,5.

Youpi! Les chiffres sont fiables.

Bref, ce ne sera pas la fin du monde d'attendre au feu piéton. Et je suis peut-être moins nul en maths que je l'ai cru.

Le théorème du libre arbitre

Le genre de théorème que j'aime !

« Nul ne peut être mathématicien s’il n’a une âme de poète » — Sofia Kovalevskaïa

Monty Hall Problem

Il existe une jolie énigme mathématique, tout à fait contre-intuitive, qui se nomme «Monty Hall Problem», et qui a fait couler beaucoup d'encre. Des mathématiciens ont longuement débattu au sujet de la réponse ultime, jusqu'à ce qu'une simulation informatique tranche...

Qu'est-ce donc que le Monty Hall Problem ?

Lors d'un spectacle télévisé, l'animateur vous présente trois portes. Deux chèvres ont été aléatoirement placées derrière deux de ces portes. Derrière la troisième porte se trouvent les clés d'une voiture, ce qui constitue votre potentiel prix.

L'animateur vous dit : «Choisissez une porte.»

Avant qu'il ne l'ouvre, il ajoute : «Attendez, je vais vous aider» ; il ouvre l'une des portes (pas celle que vous avez choisie). C'est donc une chèvre (il n'ouvrirait quand même pas la porte derrière laquelle se trouvent les clés).

Ainsi, deux portes demeurent : l'une cachant une chèvre, l'autre cachant les clés d'une belle voiture.

L'animateur, se sentant doublement généreux, vous dit : «Si vous voulez, je vous laisse changer de porte.»

Est-il plus avantageux de changer de porte ? Simplifions : l'une des trois portes a été ouverte, vous n'y pensez plus. Il reste deux portes, et vous avez choisi l'une d'elles. L'animateur vous propose d'inverser votre choix...

À première vue, on penserait : Pourquoi changer ? Dans un cas comme dans l'autre, cela apparaît être une chance sur deux, car les paramètres initiaux du jeu ont été troqués pour de nouvelles règles, du moins en apparence. Un examen plus poussé de la question révèle l'inverse. Changer de porte nous permet en fait d'obtenir deux chances sur trois de gagner.

J'ai conçu une explication assez simple permettant de saisir l'essence du problème :

Sur mes dessins, les X sont les chèvres. Les cercles verts sont les clés. Ainsi, les lignes « 1, 2, 3 » représentent ce que j'appellerais « la texture de probabilités* » du problème. « A, B, C » sont les trois portes.

*Ayez pitié ! Je ne suis pas mathématicien, il faut que je m'improvise des expressions.

1, 2 et 3 représentent donc les trois scénarios possibles, soient :

1. Des chèvres se cachent derrière les portes A et B ; C renferme les clés convoitées.
2. Des chèvres sont derrière les portes A et C ; cette fois c'est B qui renferme les clés.
3. A renferme les clés ; B et C cachent chacune une chèvre.

Ainsi, ces possibilités 1, 2 et 3, c'est ce à quoi vous vous exposez en jouant à ce jeu. Vous avez un nombre égal de chances de tomber sur chacun des scénarios.

Ainsi, si vous choisissez, par exemple, la porte C, il y a lieu d'observer ce qui pourrait se produire dans les TROIS scénarios possibles.

N.B. - J'élaborerai, un peu plus loin, davantage sur le terme « texture de probabilités » dont j'ai parlé plus haut.

Ainsi, nous le savons, pour vous aider, l'animateur a ouvert une porte qui cachait une chèvre. J'auréole de bleu ces portes (dans chacun des scénarios). J'ai mis des points de couleur orange aux portes C de chacune des lignes, afin de nous rappeler que c'est votre sélection (tel que mentionné, en explorant les trois scénarios possibles, nous conservons la même sélection).

Or, avec la même porte, dans les trois cas possibles, vous avez 1 / 3 de gagner en moyenne, ce qui correspond tout bêtement à la statistique initiale. Par contre, si vous acceptez de changer de porte, voici ce qui se produit (vous obtenez alors deux chances sur trois d'obtenir les clés) :

Donc forcément, le fait de choisir une autre porte fera en sorte que l'on choisisse le double de O que l'on avait initialement.

Ceux qui croient que « changer de porte fournit 1 / 2 de chance de l'emporter » oublient ce facteur fondamental, soit ce que je nomme la texture de probabilités, c'est-à-dire cette « répartition de possibilités limitées, cernables » : il suffit d'observer le dessin que j'ai conçu, ci-haut, pour s'en convaincre.

Ceci prouve donc que, dans le Monty Hall Problem, suite à la grande question de l'animateur, il est important de modifier son choix initial.